Brot úr sögu raunvísinda á Íslandi

Yfirlit um greinaflokkinn

Ef við undanskiljum Vestur-Íslendinginn Sturlu Einarsson (1879-1974; Ph.D. frá Berkeley 1915), sem fluttist fjögurra ára gamall með foreldrum sínum til Vesturheims árið 1883, voru fyrstu Íslendingarnir, sem luku formlegu háskólaprófi með stjörnufræði sem aðalgrein þeir Steinþór Sigurðsson (1904-1947; mag. scient. frá Kaupmannahafnarháskóla 1929) og Trausti Einarsson (1907-1984; dr. phil. frá Háskólanum í Göttingen 1934). Eftir heimkomuna sneru þeir sér báðir að öðrum viðfangsefnum en stjörnufræði, enda voru engir innviðir þá til á Íslandi, sem gerðu þeim kleift að leggja stund á fræðigrein sína.

Þess ber að geta, að allir þeir sem útskrifuðust með lokapróf í stærðfræði, eðlisfræði eða efnafræði frá Kaupmannahafnarháskóla á fyrri helmingi tuttugustu aldar voru einnig vel menntaðir í grunnatriðum stjörnufræðinnar og gátu því kennt hana í íslenskum menntaskólum. Í þeim hópi voru meðal annarra þeir Þorkell Þorkelsson eðlisfræðingur (1876-1961), Ólafur Dan Daníelsson stærðfræðingur (1877-1957), Sigurkarl Stefánsson stærðfræðingur (1902-1995), Guðmundur Arnlaugsson stærðfræðingur (1913-1996) og Björn Bjarnason stærðfræðingur (1919-1999).

Það var ekki fyrr en Þorsteinn Sæmundsson (1935-2023; Ph.D. frá Lúndúnaháskóla 1962) hóf störf við Eðlisfræðistofnun Háskólans árið 1963, sem fyrsti vísirinn að rannsóknum á afmörkuðu sviði nútíma stjarnvísinda skaut rótum hér á landi. Er þar átt við fræðin um samband sólar og jarðar.

Í því, sem hér fer á eftir, er ætlunin að fjalla nánar um stjörnufræðinginn Steinþór Sigurðsson og það umhverfi náms og fræða, sem hann hrærðist í á Kaupmannahafnar-árunum 1923 til 1929.

 

Nám við Menntaskólann í Reykjavík

 Áður en hann fór til Kaupmannahafnar stundaði Steinþór nám við Menntaskólann í Reykjavík, þar sem hann mun hafa skarað fram úr í raunvísindum, einkum þó eðlisfræði. Lærimeistararnir voru heldur ekki af verri endanum: Ólafur Dan Daníelsson kenndi honum stærðfræði og stjörnufræði og Þorkell Þorkelsson eðlisfræði.

Hugur Steinþórs hefur snemma hneigst að stjörnufræði, eins og sjá má á ummælum sem Jón Eyþórsson veðurfræðingur hefur eftir Hákoni Bjarnasyni skógræktarstjóra í grein sinni um Steinþór í Andvara árið 1954 (bls. 8):

Á fyrstu árum sínum í menntaskóla smíðaði Steinþór stjörnukíki í félagi við Magnús Magnússon, nú símaverkfræðing. Þeir slípuðu sjálfir holspegil í hann. Yfirleitt þekkti Steinþór allar mögulegar stjörnur á himninum, frá því ég man eftir, og reyndi að kenna okkur margt í stjörnufræði.

Einn helsti vinur Steinþórs á skólaárunum var Sigurkarl Stefánsson, síðar stærðfræðingur og samkennari hans við Menntaskólann í Reykjavík og Háskóla Íslands. Þeir urðu stútentar frá stærðfræðideild vorið 1923 og héldu báðir til Kaupmannahafnar að því loknu til frekara náms. Þá var Steinþór aðeins nítján ára gamall.

Eins og áður kom fram, verður hér fyrst og fremst fjallað um stjörnufræðinám Steinþórs og það vísindalega umhverfi, sem hann hrærðist í við Háskólann í Kaupmannahöfn á árunum 1923 til 1929. Í næstu færslu (4a2) verður svo rætt lauslega um störf hans á Íslandi að loknu háskólaprófi. Einnig má lesa um helstu þættina í ævi og störfum Steinþórs eftir heimkomuna í ritum eins og Verkfræðingatali og Kennaratali og ekki síst í minningargreinunum, sem tengt er á hér að neðan. Þá má nálgast frekari upplýsingar um prentuð verk Steinþórs í meðfylgjandi ritaskrá.

 

Ritaskrá og minningargreinar

• Einar H. Guðmundsson, 2024: Ritaskrá Steinþórs Sigurðssonar – Drög.
• Jóhannes Áskelsson, 1947: Steinþór Sigurðsson – mag. scient.
• Anon, 1947: Steinþór Sigurðsson magister.
• Westergaard-Nielsen, C., 1947: Minningarræða um Steinþór Sigurðssom magister.
• Sigurður Þórarinsson, 1947: Sigurður Steinþórsson mag. scient.
• Sigurkarl Stefánsson, 1947a: Minningarorð: Steinþór Sigurðsson magister.
• Sigurkarl Stefánsson, 1947b: Steinþór Sigurðsson.
• Nielsen, N., 1947: Minningarræða um Steinþór Sigurðsson.
• Ólafur Þorsteinsson og Anon, 1947: Steinþór Sigurðsson – Kveðjuorð.
• Vinter Hansen, J.M., 1947: Dödsfald.
• Guðmundur Einarsson, 1947: Steinþór Sigurðsson magister.
• Anon, 1947: Skarð fyrir skildi.
• Trausti Einarsson, 1948: Minning: Steinþór Sigurðsson.
• Jón Eyþórsson og Geir G. Zoëga, 1947: Steinþór Sigurðsson mag. kvaddur.
• Jón Eyþórsson, 1954: Steinþór Sigurðsson.
• Sigurður Steinþórsson, 1997: Steinþór Sigurðsson.
• Anon, 2014: Steinþór Sigurðsson.
• Einar B. Pálsson, 2021: Jöklarannsóknir á Íslandi á fimmta áratugnum – frumkvöðlastarf Steinþórs Sigurðssonar.

 

Stjörnufræðinámið í Kaupmannahöfn

Steinþór fór til náms í Kaupmannahöfn sumarið 1923 og Sigurkarl fylgdi í kjölfarið nokkrum mánuðum seinna. Fyrstu tvö til þrjú árin sóttu þeir sömu fyrirlestrana, en á seinni hluta skildu leiðir, þegar Sigurkarl fór að lesa undir kandídatspróf í stærðfræði.

Steinþór ætlaði í fyrstu að leggja fyrir sig eðlisfræði, en það breytist smám saman vegna vaxandi áhuga hans á stjörnufræði. Hann lauk því magistersprófi (mag.scient.) í þeirri grein 1929, rúmu ári eftir að Sigurkarl hlaut sína kandídatsgráðu (cand.scient).

Ein besta heimildin, sem ég hef fundið um stjörnufræðinámið í Kaupmannahöfn á þessum tíma, er viðtal sem þau hjónin L. Hoddeson vísindasagnfræðingur og G. Baym eðlisfræðingur áttu við hinn þekkta stjarneðlisfræðing, Bengt Strömgren (1908-1987) árið 1976. Hann var sonur aðalkennara Steinþórs, prófessors Elis Strömgren (1870-1947), og þeir Steinþór og Bengt þekktust vel, þar sem þeir voru samtímis við nám í stjörnufræði við Háskólann. Í viðtalinu segir Bengt meðal annars:

[The job opportunities in astronomy in Denmark at that time were] very limited. Actually, the philosophy was that those who took their degree in mathematics, physics, chemistry or astronomy mostly prepared themselves for jobs as high school teachers, and the whole curriculum was worked out so that they would be competent. The standards were high in the Danish high schools, so this was a very good education. In astronomy, there were other opportunities. For instance, you could join the Geodetic Institute. But the main job was in high school, and to discourage people from choosing the scientific career they had determined then that the salaries of the assistants [at the Observatory] were just a shade lower than you got as a salary when you entered high school teaching. It wasn’t looked down upon, but it certainly wasn’t encouraged.

Grunnnámið í stjörnufræði við Háskólann byggðist á fyrirlestrum Elis Strömgren og á námsárum Steinþórs var stuðst við kennslubók frá 1908 eftir Hans Geelmuyden (1844-1920) í Osló. Prófessor Strömgren þótti bókin góð til síns brúks, en þegar líða tók á þriðja áratuginn tók að bera á óánægju stúdenta með námsefnið. Eftir miklar kvartanir þeirra samdi Elis því nýja bók ásamt syni sínum Bengt og gaf út árið 1931. Fyrri hlutinn var í aðalatriðum byggður á gömlu bókinni, en Bengt bætti við nýjum köflum um stjarneðlisfræði þess tíma. Bókin var fljótlega endurskoðuð og þýdd á þýsku. Hún kom í nýrri útgáfu 1945 og var notuð við Kaupmannahafnarháskóla vel fram yfir miðja öldina.

• Geelmuyden, H., 1908: Lærebog í Astronomi. – Strömgren, E., 1909: Ritdómur (Fysisk tidsskrift, 7de aargang, bls. 111-115).
• Strömgren, E. & B. Strömgren, 1931: Lærebog i Astronomi – paa grundlag af H. Geelmuydens lærebog. – Krogness, O., 1931: Ritdómur (Naturen, Sept-Okt 1931, bls. 313-314).
• Strömgren, E. & B. Strömgren, 1933: Lehrbuch der Astronomie. Þýsk þýðing á endurskoðaðri útgáfu bókarinnar frá 1931. – Chant, C.A., 1933: Ritdómur.

Um stjörnufræðina gildir hið sama og aðrar fræðigreinar, að á tímabilinu frá siðaskiptum (um 1550) fram á þriðja áratug tuttugustu aldar sóttu Íslendingar þekkingu sína á himingeimnum nær eingöngu til Háskólans í Kaupmannahöfn. Það er því mikilvægt, að hinn danski bakgrunnur sé hafður í huga, þegar fjallað er um vísindasögu Íslendinga fyrr á öldum. Í því sambandi má til dæmis benda lesendum á eftirfarandi yfirlitsrit um sögu stjörnufræðinnar í Danmörku, einkum þó við Kaupmannahafnarháskóla:

• Poulsen, E., 2009: Centuries of Astronomy – Astronomy in Denmark.
• Thykier, C., K. Gyldenkerne & P.B. Darnell, ritstj., 1990: Dansk astronomi gennem firehundrede år 1-3.
• Moesgaard, K.M., K.M. Pedersen & B. Strömgren, 1983. „Astronomi“. Í Københavns Universitet 1479-1979, bind XII: Det matematisk-naturvidenskabelige Fakultet, 1. del: Fakultetets almindelige historie, Matematik, Datalogi, Statistik, Forsikringsmatematik, Geodæsi, Astronomi, Fysik, Kemi, bls. 247-363.
• Andersen, M.C., 2002: Astronomi ved Københavns Universitet 1479 –1957. Í Københavns Universitets Almanak 2002, bls. 97–128.
• Andersen, M.C., 2004: Astronomi ved Københavns Universitet 1957-2003. Í Københavns Universitets Almanak 2004, bls. 118–137.
• Rundetaarn 1637-1937: Et Mindeskrift, 1937.
• Nielsen, A.V., 1962: „Hundrede års astronomi på Østervold.“ Særtryk af Nordisk Astronomisk Tidsskrift 1961-1962.
• Gyldenkerne, K., 1989: Universitetsobservatoriet og dets forskning. Í Københavns Universitets Almanak 1989, bls. 101-117
• IAU – Astronomical Heritage: Brorfelde Observatory.
• Moustgaard, L., 1990: Uranias tjenere. Episoder i dansk astronomi 1900-1950.
• Andersen, J., 2012: ESO og dansk astronomi gennem 50 år.
• Andersen, J., 2015: Carlsbergfondet – dansk astronomis livline i over 100 år.

 

Stjörnuathugunarstöðin á Østervold

Á námsárum Steinþórs fór seinnihlutanámið í stjörnufræði fyrst og fremst fram í Stjörnuathugunarstöðinni á Østervold þar sem megináhersla var lögð á sígildar stjarnmælingar og útreikninga á brautum himintungla. Bengt Strömgren hafði eftirfarandi að segja um stöðuna í áðurnefndu viðtali:

There was very little in the way of a development in astronomy [in Copenhagen] at that time. The number of positions in the whole country was very small. There was no equipment to speak of. It was all antiquated, and what was done was that the activities were in the theoretical field, as a consequence. My father’s work was in dynamical astronomy, and in the period we are now talking about my work was in theoretical astrophysics. We really didn’t have very much to go on at all in that period. The Niels Bohr Institute was the exception.

Með síðustu setningunni er Bengt að vísa til þess, að á þessum árum var unnið að tímamótarannsóknum í skammtafræði við stofnun Háskólans í kennilegri eðlisfræði. Þangað sótti hann sjálfur mikinn innbástur og sem kunnugt er var hann meðal hinna fyrstu í hópi stjarnvísindamanna til að beitta niðurstöðum nýju skammtafræðinnar í rannsóknum í stjarneðlisfræði.

• Quaade, M., 2013: Observatoriet på Østervold i København.
• Petersen, J.O., 2015: Observatoriet på Østervold i vækstperioden 1958-1975, DASK og GIER – dengang og nu.
• Dorch, B.F. & J.O. Petersen, 2021: The History of the Observatory Library at Østervold in Copenhagen, Denmark.
• Nielsen, A.V., 1962: „Hundrede års astronomi på Østervold.“ Særtryk af Nordisk Astronomisk Tidsskrift 1961-1962.

 

Helstu sjónaukar Østervoldsstöðvarinnar

Þegar Steinþór var við nám, skorti talsvert á að tækjabúnaður athugunarstöðvarinnar væri eins og best verður á kosið. Um miðjan tíunda áratug nítjándu aldar hafði fyrsta linsusjónauka stöðvarinnar verið skipt út fyrir annan nýrri (sá gamli er nú í vörslu Steno safnsins í Árósum; sjá grein J.B. Skrivers frá 2008: Det bedste af det bedste, bls. 4-7). Repsold fyrirtækið í Þýskalandi hannaði og smíðaði nýja sjónaukann, svokallaðan tvöfaldan linsusjónauka, sem nota mátti bæði til ljósmyndatöku og athugana með berum augum.

Sitt hvoru megin við hvelfingu töfalda linsusjónaukans voru minni herbergi, annars vegar með hágöngukíki (meridianinstrument), hins vegar með þvergöngukíki (passage-instrument).

Úti í garðinum framan við suðurhlið aðalbyggingarinnar var lítill skáli, sem hýsti svokallaðann Zöllner ljósmæli til mælinga á birtu fastastjarna.

 

Starfsmenn stöðvarinnar

Starfslið stöðvarinnar var fámennt á námsárum Steinþórs. Auk forstöðumannsins Elis Strömgren prófessors (1870-1947) og stjörnumeistarans J.M. Vinter Hansens (1890-1960) voru þar tveir aðstoðarstjörnufræðingar á hverjum tíma [Jens Johannsen (f. 1897) í tvö ár 1923-1925; Jens P. Møller (1899-1944) alls í tuttugu ár 1924-1944; Axel V. Nielsen (1902-1970) árið 1926 og Bengt Strömgren (1908-1987) í níu ár 1927-1936]. Erna Mackeprang var reiknimeistari og ritari. Ýmsir aðrir komu við sögu, svo sem lausráðnir aðstoðarmenn við útreikninga, athuganir og fleira, meðal annars stúdentar í framhaldsnámi.

 

Elis Strömgren prófessor og forstöðumaður

Svíinn Svante Elis Strömgren stundaði nám í stjörnufræði við Háskólann í Lundi undir handleiðslu prófessors Axels Möller (1830-1896). Verk hans frá 1896, Berechnung der Bahn des Kometen 1890 II, var tekið gilt til doktorsvarnar árið 1898, en eins og nafnið gefur til kynna fjallar það um braut halastjörnunnar 1890 II (nú skráð sem C/1890 F1 Brooks). Verkið var mikilvægt framlag til halastjörnufræða, eins og komið verður að síðar.

Að loknu doktorsprófi kenndi Strömgren við Lundarháskóla í þrjú ár (1898-1901), gerðist síðan starfsmaður á ritstjórnarskrifstofu hins merka tímarits Astronomische Nachrichten í Kiel í sex ár og var jafnframt Privatdozent í stjörnufræði við Kielarháskóla 1904-1907. Árið 1907 var hann skipaður prófessor í stjörnufræði við Háskólann í Kaupmannahöfn og jafnframt forstöðumaður stjörnuturnsins þar. Því starfi gengdi hann með miklum sóma til sjötíu ára aldurs, árið 1940.

Sérgrein Strömgrens var aflfræði himintungla og auk stjörnuathugana urðu rannsóknir á því sviði því meginviðfangsefni stjörnufræðinga við Kaupmannahafnarháskóla á hans dögum. Hann kenndi stærðfræði- og raunvísindanemun á fyrri hluta stjörnufræði á árunum 1907 til 1940, þar á meðal allnokkrum Íslendingum. Hann var og aðalkennari Steinþórs Siguðssonar til magistersprófs.

Strömgren var vel þekktur á alþjóðavettvangi og hafði um sig stórt net samstarfsmanna, bæði heima og erlendis, einkum þó á hinum Norðurlöndunum og í Þýskalandi. Eins og áður hefur komið fram varð sonur hans, Bengt Strömgren, einn þekktasti stjarnvísinda-maður tuttugustu aldarinnar.

• Vinter-Hansen, J.M., 1947: Svante Elis Strömgren.
• Lundmark, K., 1948: Svante Elis Strömgren.
• Nørlund, N.E., 1948: Svante Elis Strömgren.
• Nielsen, A.V., 1981: Svante Elis Strömgren. Í C.C. Gillispie (ritstj.), Dictionary of Scientific Biography, 13, 1981, bls. 98-99.

 

J.M. Vinter Hansen stjörnumeistari

Á dögum Steinþórs í Kaupmannahöfn var Julie Marie Vinter Hansen næst æðsti yfirmaður stjörnuathugunarstöðvarinnar og sá að verulegu leyti um daglegan rekstur hennar. Hún hafði lokið magistersprófi í stjörnufræði hjá Strömgren árið 1917, fyrst kvenna í Danmörku, og var ráðin sem aðstoðarstjörnufræðingur við athugunarstöðina 1919. Áður hafði hún starfað þar við stjarnfræðilega útreikninga. Stjörnumeistari varð hún 1922, einnig fyrst kvenna í Danmörku.

Vinter Hansen átti mikilvægan þátt í þjálfun Steinþórs sem stjörnufræðings, enda var hún sérfræðingur í útreikningum á brautum halastjarna og smástirna, auk þess sem hún sinnti  margs konar stjarnmælingum. Hún var vel þekkt á alþjóðavettvangi fyrir brautarreikninga og á árum seinni heimsstyrjaldarinnar starfaði hún við Lick stjörnuathugnarstöðina í Kaliforníu. Eftir heimkomuna, 1945, tók hún við sínu fyrra starfi við Østervoldsstöðina, auk þess sem hún sinnti ýmsum störfum fyrir samfélag stjarnvísindamanna, bæði heima og erlendis

• Rasmusen, E.Q., 1961: Julie Marie Vinter Hansen (1890-1960).
• Rosenbeck, B., 2022: 100-års jubilæum for astronomisk sejr for ligestillingen.
• Pors, F., 2023: Julie Vinter Hansen.
• Høg, E. (ritstj), 2024: Julie Vinter Hansen Event.

 

Helstu verkefni Østervoldsstöðvarinnar á dögum Elis Strömgren og þátttaka Steinþórs Sigurðssonar í þeim

Eins og þegar hefur komið fram hafði prófessor Strömgren formlega yfirumsjón með allri kennslu í stjörnufræði við Kaupmannahafnarháskóla og kenndi lengi mest af efninu sjálfur. Hann sá um grunnnámskeiðið fyrir stærðfræði- og raunvísindanema og leiðbeindi jafnframt stúdentum í framhaldsnámi. Sem forstöðumaður stjörnuathugunarstöðvarinnar tók hann allar ákvarðanir um rannsóknarsvið, skipulagði verkefni og tók oftar en ekki sjálfur þátt í athugunum og útreikningum. Daglegur rekstur og umsjón með aðstoðarstjörnufræðingunum, nemendum og tækjabúnaði var hins vegar í höndum Vinter Hansen, sem sjálf var afkastamikill og einkar fær vísindamaður.

Strömgren var stjörnufræðingur af gamla skólanum og ekki sérlega hrifinn af hinni nýju stjörnufræði, stjarneðlisfræðinni, sem á þessum tíma var í miklum vexti víða í Evrópu og Bandaríkjunum. Áherslan í rannsóknum Østervoldsstöðvarinnar á hans dögum var því á sviði sígildrar stjörnufræði, eins og nánar verður komið inn á hér á eftir. Það var ekki fyrr en Bengt sonur hans hafði lokið doktorsprófi árið 1929, sem stjarneðlisfræðin hóf innreið sína við Kaupmannahafnarháskóla fyrir alvöru.

Á fyrri hluta tuttugustu aldar sinnti Østervoldsstöðin því mestmegnis hefðbundnum stjarnmælingum og útreikningum. Fylgst var með göngu reikistjarna og tungla þeirra, sólmyrkvum og tunglmyrkvum, sem og stjörnumyrkvum. Sértök áhersla var lögð á að mæla birtu breytistjarna og finna staðsetningu og eiginhreyfingu smástirna og halastjarna með það að markmiði að ákvarða brautir þeirra.

Á kennilega sviðinu var þriggja hnatta vandamálið ásamt tilheyrandi brautarreikningum meginviðfangsefni Strömgrens og þar með stöðvarinnar. Segja má, að á fyrstu áratugum tuttugustu aldar hafi Østervoldsstöðin fyrst og fremst verið þekkt í alþjóðlegu fræðasamfélagi stjarnvísindamanna fyrir framlag sitt á því sviði.

Hvað Steinþór Sigurðsson varðar, er fyrst getið um rannsóknir hans við athugunarstöðina í greinum í Nordisk Astronomisk Tidsskrift árið 1926. Þar eru meðal annars skráðar athuganir hans á birtu breytistjarnanna S Ursae majoris, S Cephei og S Boötis frá árinu 1924. Mér finnst einna athyglisverðast, að Steinþór framkvæmdi þessar mælingar strax á öðru misseri sínu við Háskólann, þá nýorðinn tvítugur.

Í næstu fjórum undirköflum verður rætt stuttlega um helstu viðfangsefni Østervolds-stöðvarinnar á dögum Strömgrens og Vinter Hansens og það sem færsluhöfundi hefur tekist að grafa upp um aðkomu Steinþórs að þeim.

 

1. Stjarnmælingar af ýmsu tagi

Flestar af mælingum athugunarstöðvarinnar tengdust alþjóðlegu samstarfi stjörnu-fræðinga. Mæliniðurstöðurnar voru oftast birtar á töfluformi í norræna tímaritinu Nordisk Astronomisk Tidsskrift (NAT) og/eða hinu þýska Astronomische Nachrichten (AN) sem H.C. Schumacher (1780-1850), aðalkennari Björns Gunnlaugssonar (1788-1876), hafði komið á fót árið 1821. Þessar niðurstöður voru síðan notaðar víða um heim, ásamt hliðstæðum mælingum annarra stjörnuathugunarstöðva, meðal annars til þess að ákvarða brautir himintungla eða birtuferla breytistjarna. Slíkar lokaniðurstöður birtu stjörnufræðingar tengdir Østervoldsstöðinni svo venjulega í Astronomische Nachrichten.

 

1.1 Breytistjörnur

Til þess að eitthvert gagn sé að, þarf að fylgjast kefisbundið með breytistjörnum í langan tíma, jafnvel árum saman, áður en hægt er að ákvarða birtuferla þeirra með nægjanlegri nákvæmni. Fjöldi breytistjarna er mikill og venjulegar stjörnuathugunarstöðvar hafa hvorki mannafla né nægan athugunartíma til slíkra langtímamælinga. Því var snemma brugðið á það ráð að fá áhugastjörnufræðinga til aðstoðar með því að stofna sérstök félög stjörnufræðinga og áhugastjörnufræðinga um breytistjörnuathuganir.

Á fyrri hluta tuttugustu aldar varð smám saman ljóst að taka þurfti breytistjörnur, ekki síst svokallaðar sveiflustjörnur, með í reikninginn í kennilegum líkönum um þróun sólstjarna. Þótt Elis Strömgren væri ekki sérlega áhugasamur um slík fræði, rann honum blóðið til skyldunnar og tók að sér að skipuleggja norræna samvinnu um breytistjörnuathuganir árið 1920. Hann hafði sjálfur yfirumsjón með með þessu starfi, fyrst einn, en síðar í samvinnu við fyrrum nemanda sinn, Axel V. Nielsen í Árósum.

• Strömgren, E., 1929: Om den nordiske Organisation til Observation af forandrelige Stjerner.

• Nelson, B.: Overview of Variable Stars.
• Cambell, L. & L. Luigi, 1941: The Story of Variable Stars.
• Gautschy, A., 2003: The History of Radial Stellar Pulsation Theory: A short look at the long road to understand what was seen.

Eins og áður hefur komið fram, voru fyrstu skráðu stjörnuathuganir Steinþórs ákvörðun á birtu þriggja breytistjarna, þ.e. S Ursae majoris, S Cephei og S Boötis, sem allar teljast til svokallaðra Mírustjarna. Mælingarnar voru gerðar á mismunandi tímum á tímabilinu frá febrúar 1924 til apríl 1925 og birtar í eftirfarandi greinum í Nordisk Astronomisk Tidsskrift:

• Thorrud & fl., 1926: Iagttagelser af forandrelige stjerner (S Ursae majoris, bls. 107-108 & S Boötis, 108).
• Nielsen Aa. & fl., 1926: Iagttagelser af forandrelige stjerner. (S Ursae majoris, bls. 141 & S Cephei, bls. 143).

Lokaniðurstöðurnar úr framangreindum mælingum birtust svo hér:

• Kristensen, J.A. & fl., 1927: Iagttagelser af forandrelige stjerner (S Ursae majoris).
• Kristensen, J.A. & fl., 1929a: Beobachtungen von Veränderlichen (S Cephei, bls. 415-416; sjá einnig töfluna aftast í greininni, bls. 418).
• Kristensen, J.A. & fl., 1929b: Beobachtungen von Veränderlichen (S Bootis, bls. 204; sjá einnig töfluna aftast í greininni, bls. 206).

 

1.2 Staðsetning stjarna á hvelfingunni

Á Østervoldsstöðinni var fylgst vel með hreyfingum smáhnatta í sólkerfinu til að fá sem nákvæmastar upplýsingar um brautir þeirra. Helstu viðfangsefnin voru halastjörnur, en einnig tungl reikistjarnanna sem og smástirni, bæði í smástirnabeltinu milli Mars og Júpíters og eins í Trójuþyrpingunum tveimur á braut Júpíters. Á námsárum Steinþórs stjórnaði Vinter Hansen þessum athugunum og sá um birtingu mæliniðurstaða. Mælingarnar voru yfirleitt framkvæmdar með tvöfalda Repsold sjónaukanum, sem áður var nefndur.

Steinþór tók þátt í slíkum mælingum í mars og apríl árið 1926. Verkefni hans var að finna tímabundna staðsetningu smástirnanna Vestu, Þalíu, Amalþeu, Kaldeu og Eleonoru á hvelfingunni og gefa stöðuna upp í miðbaugshnitum (þ.e. stjörnulegd α og stjörnubreidd δ). Niðurstöðurnar voru síðan birtar í eftirfarandi grein í Astronomische Nachrichten:

• Vinter Hansen, J.M. & fl., 1926: Beobachtungen von Kometen und Planeten am 360 mm Refraktor der Kopenhagener Sternwarte (sjá bls. 33-34).

 

1.3 Stjörnumyrkvar

Með stjörnumyrkvum er átt við þá atburði, þegar einn himinhnöttur gengur fyrir annan og hylur hann um tíma. Oftast er hugtakið þó notað, þegar tungl hylur fastastjörnur eða hnetti sólkerfisins (nema sólina, þá er talað um sólmyrkva) á leið sinni um dýrahringinn. Lengi vel var einkum fylgst með stjörnumyrkvum til að ákvarða tunglbrautina með sem mestri nákvæmni, en nú á dögum er ekki lögð minni áhersla á mælingar til að fylgjast með möndulsnúningi jarðar, mæla sýndarþvermál stjarna og leita að tvístirnum.

• IOTA: The Value of Lunar Occultation Timings and Observations.
• In-The-Sky: Lunar Occultations.
• In-The-Sky: Lunar occultation of Venus.

Steinþór tók þátt í nákvæmnismælingum af þessu tagi á tímabilinu frá apríl 1928 til júní 1929, en þá gekk tunglið fyrir reikistjörnuna Venus og fjölmargar fastastjörnur í dýrahringnum, meðal annars λ Cancri, κ Virginis, 103 Tauri og γ Virginis. Þar fékk hann meðal annars tækifæri til að vinna með Bengt Strömgren og voru niðurstöður þeirra fyrst birtar í Nordisk Astronomisk Tidsskrift:

• Steinþór Sigurðsson & B. Strömgren, 1928: Maane-okkultationer, synlige i Köbenhavn.
• Østergaard, N. & fl., 1929: Observationer af maaneokkultationer.
• Nielsen, A. & fl., 1929: Observationer af maaneokkultationer.

Aðrir unnu síðan úr þessum mælingum og birtu lokaniðurstöður í Astronomische Nachrichten:

• Steenberg Sörensen, K., H. Jensen & fl., 1929: Reduction von Beobachtungen von Sternbedeckungen (λ Cancri, 103 Tauri og γ Virginis).
• Steenberg Sörensen, K., H. Jensen & fl., 1930: Reduction von Beobachtungen von Sternbedeckungen (Venus og κ Virginis).

 

2. Útreikningar á brautum himintungla

Lesendum sem vilja kynna sér sögu vísindanna um aflfræði himintungla og tilheyrandi brautarreikninga, er bent á eftirfarandi ritsmíðar og heimildirnar sem þar er vísað á:

• Moulton, F.R., 1914: An introduction to celestial mechanics (2. útg). Söguyfirlit er að finna í lok flestra kaflanna.
• Taton, R. & C. Wilson ritstj., 1995: The General History of Astronomy: Planetary Astronomy from the Renaissance to the Rise of Astrophysics – Part 2B: The Eighteenth and Nineteenth Centuries.
• Peterson, I., 1993: Newton’s Clock: Chaos In The Solar System.
• Diacu, F. & P. Holmes, 1996: Celestial Encounters: The Origins of Chaos and Stability.
• D. Krajnovic, 2016: The contrivance of Neptune.
• W. Sheehan & T. Misch, 2016: A special centennial: Mercury, Vulcan, and an early triumph for General Relativity (bls. 2-12).
• Einar H. Guðmundsson, 2018: Halastjörnur fyrr og nú – 1. Frá miðöldum til loka sautjándu aldar.
• Einar H. Guðmundsson, 2020: Þyngdarfæði Newtons.

Á námsárum Steinþórs voru tölvur ekki enn komnar til sögunnar og brautarreikningar voru því mikil og tímafrek vinna. Mér skilst, að á þessum árum hafi, auk blýantsreikninga með hjálp lógariþmataflna, einkum verið notast við handsnúna Archimedes reiknivél svipaðri þeirri, sem sjá má á myndinni hér fyrir neðan. Þegar líða tók á fjórða áratuginn mun Østervoldsstöðin loks hafa fengið rafknúna útgáfu af þessari tegund. Tölvureikningar hófust hins vegar ekki fyrr en á sjöunda áratugnum.

Lítið var um reiknitæknilegar nýjungar í brautarreikningum á þriðja áratugnum, nema hvað  Bengt Strömgren þróaði sína eigin aðferð árið 1929, sem átti eftir að njóta talverðrar hylli (sjá í því sambandi greinar hans, Formeln und Tafeln zur Bestimmung parabolischer Bahnen  og  Formeln zur genaeherten Stoerungsrechnung in Bahnelementen. Angewandt auf die Planeten 633 Zelima, 956 [1921 IW], 979 Ilsewa, 1035 Amata und 1049 [1925RB]). Að öðru leyti voru notaðar margreyndar aðferðir af því taginu sem lýst er í eftirfarandi ritum:

• Oppolzer, Th., 1880-82: Lehrbuch zur Bahnbestimmung der Kometen und Planeten I & II.
• Klinkerfues, W. & H. Buchholz, 1912: Theoretische Astronomie.
• Bauschinger, J., 1928: Die Bahnbestimmung der Himmelskörper.
• Stracke, G, 1929: Bahnbestimmung der Planeten und Kometen.

Þetta voru helstu heimildirnar um stjarnfræðilega útreikninga, sem reiknimeistarar stjörnuathugunarstöðva í Evrópu studdust við á fyrstu áratugum tuttugustu aldar.

Þegar mikið var að gera við útreikninga á Østervoldsstöðinni tóku allir, sem vettlingi gátu valdið, þátt í vinnunni, þar á meðal forstöðumaðurinn, stjörnumeistarinn, aðstoðarstjörnufræðingar, stúdentar og aðrir hjálparkokkar. Það má því teljast nokkuð öruggt, að Steinþór hefur tekið þátt öllum helstu reikniverkefnum stöðvarinnar, þótt hans sé ekki ávallt getið, frekar en annarra aðstoðarmanna, þegar niðurstöðurnar voru birtar.

Á þessum árum var Østervoldsstöðin í raun einskonar reiknimiðstöð fyrir raunvísindadeildir Háskólans. Meðal annars sáu starfsmenn hennar um margvíslega flókna útreikninga í atómeðlisfræði fyrir kennilegu eðlisfræðingana á Blegdamsvej.

 

2.1 Tveggja hnatta vandamálið

Allt frá því í lok sautjándu aldar hafa brautarreikningar stjarnvísindamanna hvílt á þem trygga grunni, sem Ísak Newton (1642-1727) lagði með frægri stærðfræðilegri lausn sinni á svokölluðu tveggja hnatta vandamáli. Viðfangsefnið er að finna brautir tveggja hnatta undir gagnkvæmum þyngdaráhrifum í óendanlegum evklíðskum heimi sem er að öðru leyti tómur. Newton sýndi fram á brautirnar eru einslaga keilusnið þar sem massamiðja kerfisins er í sameiginlegum brennipunkti (sjá háskólakennslubækur í stjörnufræði og/eða aflfræði).

Í sólkerfinu vill svo heppilega til, að sólin er í algjöru aðalhlutverki. Þegar kanna þarf hreyfingu mun minni hnattar um sólu, til dæmis reikistjörnu, smástirnis eða halastjörnu, er það því góð fyrsta nálgun að gera ráð fyrir, að brautin sé keilusnið með sólina í brennipunkti. Í nákvæmari reikningum þarf í framhaldinu að taka tillit til truflana vegna þyngdaráhrifa annarra nálægra hnatta (og afstæðiskenningarinnar, ef svo ber undir). Þegar um tungl reikistjarna er að ræða, er sama aðferð notuð, en nú með viðkomandi reikistjörnu í hlutverki sólar.

Eftir að tekist hefur að ákvarða nægilega marga punkta á ferli hnattar á hvelfingunni með stjarnmælingum (fræðilega duga þrír punktar, en oft eru notaðir fleiri), taka hinir flóknu brautarreikningar við. Nær undantekningalaust eru leiðréttar mæliniðurstöður skráðar í kúluhnitum, t.d. hornunum α og δ fyrir hvern punkt. Út frá frá þessum sex (eða fleiri) hornum eru hinar svokölluðu grunnstærðir brautarinnar ákvarðaðar með reikningum, þar sem gert er ráð fyrir að brautin sé keilusnið í þrívíðu rúmi með sólina í brennipunkti – í stjörnufræði eru slíkar keilusniðsbrautir oft kallaðar Keplersbrautir. Grunnstærðirnar eru sex, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd fyrir sporbaugsbraut.

Grunnstærðirnar ákvarða svokallaða snertibraut (osculating orbit) hnattarins, það er bestu Keplersbrautina, sem fellur að mæliniðurstöðunum. Út frá henni og með því að taka tillit til truflandi áhrifa nálægra himintungla, einkum reikistjarna, má síðan finna betri nálgun á braut hnattarins, bæði fram og aftur í tíma. Þetta þarf venjulega að endurtaka aftur og aftur, jafnvel árum og áratugum saman, og lengur ef um smáhnetti er að ræða. Allt fram á tölvuöld var þessi reiknivinna ekki aðeins flókin, heldur ákaflega tímafrek.

 

2.2 Brautir halastjarna og smástirna

Á stórum hluta nítjándu aldar og fyrstu áratugum þeirrar tuttugustu var brautarhreyfing smástirna og halastjarna eitt helsta viðfangsefni margra athugunarstöðva í Evrópu og Bandaríkjunum. Þessir smáhnettir gátu orðið fyrir verulegum truflunum frá reikistjörnum á leið sinni um sólkerfið, einkum þó risunum miklu, Júpíter og Satúrnusi.

Doktorsritgerð Strömgrens í Lundi fjallaði einmitt um áhrif slíkra truflana á braut halastjörnunnar 1890 II, sem nú er skráð sem C/1890 F1 Brooks. Árið 1890 sýndu fjölmargar mælingar og viðamiklir reikningar Strömgrens, að stjarnan væri á opinni gleiðbogabraut (e > 1). Með því reikna aftur í tímann og taka tillit til truflandi áhrifa reikistjarnanna tókst honum hins vegar að sýna fram á, að miðskekkja brautarinnar hefði áður verið minni og farið vaxandi á árunum 1886 til 1890. Reikningar á brautum nokkurra annarra halastjarna sýndu sömu hegðun og árið 1914 setti Strömgren fram þá tilgátu, að þessar stjörnur hefðu upphaflega verið á mjög ílöngum og lokuðum sporbaugsbrautum (e < 1) og þar með tilheyrt sólkerfinu. Truflandi þyngdarhrif stóru reikistjarnanna hefðu svo smám saman breytt flestum brautanna úr lokuðum í opnar (e ≥ 1).

• Strömgren, E., 1896: Berechnung der Bahn des Kometen 1890 II.
• Strömgren, E., 1914: Über den Ursprung der Kometen mit wesentlicher Unterstützung des Mag. Johannes Braae.
• Strömgren, E., 1918: The Origin of Comets.

Í kjölfar þessara mikilvægu niðurstaða Strömgrens var fljótlega farið að skipta meginhluta halastjarna í tvo flokka, annars vegar halastjörnur með stuttan umferðartíma og hins vegar langan. Innan nokkurra áratuga urðu þær að lokum til þess, að Hollendingurinn J.H. Oort (1900-1992) setti fram hina vel þekktu tilgátu sína, að svo til allar halastjörnur með langan (eða óendanlegan) umferðartíma eigi uppruna sinn í kúlulaga hjúpi umhverfis sólkerfið, hjúpi sem nú er við hann kenndur og kallaður Oortsskýið.

• Oort, J.H., 1950: The structure of the cloud of comets surrounding the Solar System and a hypothesis concerning its origin.

Nokkrum árum eftir að Strömgren tók við stjórn Østervoldsstöðvarinnar ákvað hann að stórauka áhersluna á venjulega brautarreikninga. Þar kann að hafa ráðið nokkru, að í upphafi fyrri heimsstyrjaldarinnar tók hann að sér að miðla fréttum af nýuppgötvuðum fyrirbærum á stjörnuhimninum til alþjóðasamfélags stjarnvísindamanna. Eins og áður hefur komið fram var fréttaþjónusta IAU svo sett undir hans stjórn árið 1922. Það gerði það meðal annars að verkum, að stjörnufræðingarnir á Østervold voru yfirleitt með þeim fyrstu til að frétta af nýjum halastjörnum og fundi nýrra smástirna.

Frá stöðinni tók því að berast stöðugur straumur fréttaskeyta og greina með grunnstærðum og öðrum niðurstöðum fyrir brautir halastjarna og smástirna, ekki síst eftir að Vinter Hansen kom til sögunnar. Gott yfirlit um alla þá vinnu má finna í eftirfarandi grein, sem á ekki síður við um smástirni en halastjörnur:

• Vinter Hansen, J.M., 1944: The Orbits of Comets.

Þarna kemur meðal annars fram, að þegar mikið var að gera tóku allir starfsmenn stöðvarinnar þátt í að sannreyna innsendar upplýsingar og ganga frá nauðsynlegum útreikningum í tengslum við fréttirnar. Það virðist því nokkuð ljóst, að Steinþór hefur, oftar en einu sinni, komið að slíkum reikningum. Í því sambandi má til dæmis benda á fréttaskeytið/kortið frá 19. nóvember 1926 með upplýsingum um hina þá nýfundnu halastjörnu Comas Solà 1926 f (stundum kölluð öðrum nöfnum, en nú nær eingöngu 32P/Comas Solà). Þar má meðal annars sjá niðurstöður stjörnufræðingsins A.C.D. Crommelins (1865-1939) fyrir grunnstærðir brautarinnar:

Fljótlega eftir að fréttirnar um halastjörnuna bárust til Kaupmannahafnar var Steinþór búinn að semja stutta grein, Komet Comas Solà (1926 f),  þar sem hann notaði grunnstærðir Crommelins til að teikna skemmtilega rúmsjármynd (sjá einnig hér) af brautinni:

Til gamans má geta þess, að af einhverjum mér ókunnum ástæðum var þessi tiltekna halastjarna í miklu uppáhaldi hjá Vinter Hansen:

• Vinter Hansen, J.M., 1931: Bestimmung der Bahn des Periodischen Kometen Comas Solá (1926 f).
• Vinter Hansen, J.M., 1933: The periodic comet Comas Solà (1926f) at its return in the year 1935.
• Vinter Hansen, J.M., 1951: The Motion of the Periodic Comet Comas Solá (1927 III, 1935 IV, 1944 II) in the Years 1926-1944.

Einnig er rétt að nefna það hér, að rannsóknir á brautum Trójusmástirna var sérstakt gæluverkefni þeirra Strömgrens og Vinter Hansens. Það er án efa ein helsta ástæða þess, að magistersritgerð Steinþórs snerist um eitt þeirra, Akkilles, eins og ítarlega verður fjallað um undir lok færslunnar.

 

3. Lausnir á þriggja hnatta vandamálinu

Þriggja hnatta vandamálið er aðeins eitt hinna svokölluðu fjölhnatta vandamála í sígildri stjarneðlisfræði. Tveggja hnatta vandamálið tilheyrir einnig þeim flokki, en hefur þá sérstöðu, að til er almenn stærðfræðileg lausn á endanlegu og lokuðu formi, nokkuð sem ekki er um að ræða, ef hnettirnir eru þrír eða fleiri. Í þeim tilvikum þarf nær undantekningalaust að nota sérstakar nálgunaraðferðir og/eða tölulega reikninga við leit að brautarlausnum. Ef aðstæður krefjast þess að beita þurfi almennu afstæðiskenningunni, verða reikningarnir margfalt flóknari, jafnvel þegar aðeins er um tvo hnetti að ræða.

Þekktasta þriggja hnatta þrautin fjallar um kerfið tungl, jörð og sól, þar sem viðfangsefnið er fyrst og fremst gangur tunglsins um jörðina undir truflandi þyngdaráhrifum sólarinnar. Newton glímdi fyrstur manna við þetta erfiða verkefni í Principíu árið 1687, enda skipti það hann miklu, að þyngdarlögmálið gæfi fullnægjandi skýringu á hreyfingu tunglsins á stjörnuhimninum. Þrátt fyrir að innleiða truflanareikning til að lýsa áhrifum sólarinnar, tókst honum aðeins að leysa vandamálið að hluta og það var ekki fyrr um miðja átjándu öld, sem þeir A.C. Clairaut (1713-1765), J. d’Alembert (1717-1783) og L. Euler (1707-1783) fundu viðunandi lausn(ir), byggða(r) á þyngdarlögmálinu.

• Cook, A., 2000: Success and failure in Newton’s lunar theory.
• Bodenmann, S., 2010: The 18th-century battle over lunar motion.
• Gutzwiller, M.C., 1998: Moon-Earth-Sun: The Oldest Three-body Problem.

Á árunum í kringum 1770 tókst þeim Euler og J.-L. Lagrange (1736-1813) að finna nokkrar sérstækar lausnir á þriggja hnatta þrautinni. Þeirra þekktust er lausnin á svokölluðu takmörkuðu þriggja hnatta vandamáli, þar sem smáögn með hverfandi massa hreyfist í brautarplani „tvístirnis“. Í planinu eru fimm jafnvægispunktar, nú eingöngu kenndir við Lagrange, þótt Euler hafi reyndar fundið þrjá hina fyrstu. Á myndinni hér fyrir neðan eru punktarnir táknaðir með L₁, L₂, L₃, L₄, og L₅.

• Lagrange, J.-L., 1772: Essai sur le problème des trois corps.

Lagrange og flestir sporgöngumenn hans töldu, að þessi stærðfræðilega lausn hefði lítið sem ekkert vísindalegt gildi, þar sem kerfi af þessu tagi kæmu hvergi fyrir í náttúrunni. Það viðhorf breyttist þó smám saman meðal stærðfræðinga, fyrst með hinni frægu verðlaunaritgerð H. Poincarés (1854-1912) um þriggja hnatta vandamálið árið 1890, og síðan með þriggja binda tímamótaverkinu um aflfræði himintungla, sem hann gaf út á árunum 1892-1899. Meðal stjörnufræðinga jókst áhuginn á lausn Lagranges hins vegar verulega með uppgötvun fyrstu fjögurra Trójusmástirnanna á árunum 1906 til 1908.

• Poincaré, H., 1890: Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique.
• Poincaré, H., 1892-1899: Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste I, II & III. Árið 1993 kom verkið út í enskri þýðingu D.L. Goroffs, New Methods of Celestial Mechanics, sem einnig ritar fróðlegan inngang.
• Rågstedt, M. ?: From Order to Chaos: The Prize Competiotion in Honour of King Oscar II.
• Barrow-Green, J., 1997: Poincaré and the Three Body Problem. Sjá yfirlitsgrein um bókina hér.

Í ritgerð Poincarés frá 1890 kemur fram (bls. 6), að hann taldi nær útilokað að hægt væri að finna almenna lausn á þriggja hnatta þrautinni með þáverandi stærðfræðitækni. Það hefði því væntanlega komið honum á óvart, hefði hann lifað, að árið 1912 sýndi finnski stærðfræðingurin K.F. Sundman (1873-1949) fram á, að slík lausn væri til á formi samleitinnar, en óendanlegrar, raðar.

Þessari niðurstöðu Sundmans var upphaflega tekið með miklum fögnuði í hópi stjörnufræðinga, en fljótlega kom í ljós, að samleitni raðarinnar var svo hæg, að hún reyndist ónothæf til stjarnfræðilegara útreikninga. Sem dæmi má nefna, að til þess að ákvarða breytingu á stöðu og hraða hnattanna í þriggja hnatta kerfi á tiltölulega stuttu tímabili með nægjanlegri nákvæmni, þarf að taka að minnsta kosti fyrstu 10^8.000.000 liði raðarinnar með í reikninginn.

• Sundman, K.J., 1912: Mémoire sur le problème des trois corps.
• Diacu, F., 1996: The Solution of the n-body Problem.
• Barrow-Green, J., 2010: The Dramatic Episode of Sundman.

Hér eru svo til viðbótar nokkur fróðleg yfirlitsverk um sögu þriggja hnatta vandamálsins:

• Frank, J., 2006: The Three-Body Problem.
• Musielak, Z,E. & B. Quarles, 2014: The Three-Body Problem.
• Montgomery, R, 2019: The Three-Body Problem.
• Valtonen, M.J. & H. Karttunen, 2006: The Three-Body Problem.
• O’Dowd, M., 2020: Solving the Three Body Problem. PBS myndband (13,5 mín).

 

3.1 Kaupmannahafnar-verkefnið

Eins og margir aðrir stjörnufræðingar virðist Elis Strömgren hafa fengið áhuga á takmörkuðu þriggja hnatta þrautinni fljótlega eftir að tilkynnt var um fund fyrsta Trójusmástirnisins, Akkilesar, árið 1906. Einnig er ljóst, að hann var undir áhrifum frá hinum þekktu fræðimönnum J.A.H. Gyldén (1841-1896) í Stokkhólmi og C.V.L. Charlier (1862-1934) í Lundi, sem báðir höfðu fengist við þriggja hnatta vandamálið, líkt og margir aðrir stjörnufræðingar og stærðfræðingar á dögum Poincarés. Sjálfur nefnir Strömgren, að Englendingurinn G.H. Darwin (1845-1912) hafi haft veruleg áhrif á verk hans á þessu sviði og einnig hafi greinar, sem forveri hans í Kaupmannahöfn, T.N. Thiele (1838-1910), samdi ásamt aðstoðarmanni sínum, C. J. Burrau (1867-1944), hvatt hann til dáða.

Aðeins nokkrum árum eftir embættistöku Strömgrens í Kaupmannahöfn árið 1907, kom hann af stað skipulagðri vinnu fjölda stjörnufræðinga og aðstoðarmanna að verkefni, sem fjlótlega fékk viðurnefnið Kaupmannahafnar-verkefnið (The Copenhagen Problem) meðal sérfræðinga. Verkefnið stóð yfir í rúma tvo áratugi og að því komu samtals í kringum sextíu manns, að stúdentum meðtöldum. Það var enn í fullum gangi á námsárum Steinþórs Sigurðssonar í Kaupmannahöfn, en ekki hef ég fundið neinar beinar heimildir um að hann hafi tekið þátt í reikningunum. Það kann þó vel að vera, því ekki var til siðs á þeim árum að geta sérstaklega um framlög stúndenta í verkefnum sem þessum, þar sem litið var á slíka vinnu sem hluta af námi þeirra. Þó er rétt að nefna, að í magistersprófinu í nóvember 1929 þurfti Steinþór að halda opinberan fyrirlestur um efnið „Numeriske Beregninger over Trelegemeproblemet“.

Kaupmannahafnar-verkefnið snerist um það að nota tölulega reikninga til að finna sem flestar lotubundnar brautarlausnir af svokallaðri fyrstu tegund (premiére sorte) hins takmarkaða þriggja hnatta vandamáls fyrir tilfellið M = m. Almenna flokkunin er frá Poincaré komin (sjá grein 39 í fyrsta bindi Les méthodes nouvelles og ritgerð Poincarés frá 1884: Sur certaines solutions particulières du problème des trois corps): Fyrsta tegundin nær yfir lotubundnar brautir smáhnatta (með hverfandi massa) um tvo massamikla hnetti (M og m) á hringlaga brautum um sameinginlega massamiðju (sjá myndina hér að framan). Í tegund tvö (deuxiéme sorte) eru brautir stóru hnattanna sporbaugar og í þeirri þriðju (troisiéme sorte) aftur hringir, en brautarplön smáhnattanna halla miðað við tvístirnisplanið.)

Nokkrar áhugaverðar greinar um lotubundnar lausnir frá lokum nítjándu aldar:

• Burrau, C., 1894a: Recherches numériques concernant des solutions périodiques d’un cas spécial du problème des trois corps.
• Burrau, C., 1894b: Recherches numériques concernant des solutions péridiques d’un cas spécial du problème des trois corps. (Deuxième mémoire.)
• Thiele, T.N., 1895: Recherches numériques concernant des solutions périodiques d’un cas spécial du problème des trois corps. (Troisième mèmoire.)
• Darwin, G.H. 1897: Periodic Orbits. Sjá einnig umsögn um greinina hjá C. Burrau, 1898: H. Darwin, Periodic Orbits.
• Charlier, C.V.L., 1899: Über das reducirte Drei-Korper-Problem.
• Charlier, C.V.L., 1900: On Periodic Orbits.

Nokkrar gagnlegar yfirlitsgreinar um Kaupmannahafnar-verkefnið:

• Strömgren, E., 1922: Forms of Periodic Motion in the Restricted Problem and in the General Problem of Three Bodies, According to Researches Executed at the Observatory of Copenhagen.
• Strömgren, E., 1923: Tre Aartier Celest Mekanik paa Københavns Observatorium. Særtryk af Universitetets Festskrift.
• Strömgren, E, 1933: Connaissance actuelle des orbites dans le probléme des trois corps. Ensk þýðing M. Murreys og J.D.M. James frá 2018: Current knowledge of orbits in the three body problem.
• Szebehely, V., 1963: Application of the Restricted Problem of Three Bodies to Space Mechanics.

 

4. Ákvörðun tímans og almanaksreikningar

Á námsárum Steinþórs sá Østervoldsstöðin um svokallaða tímaþjónustu í Danmörku. Tíminn var mældur með vandaðri Riefler pendúlklukku, sem keypt hafði verið árið 1903, og tímamerki send til valinna viðtakenda á skipulagðan hátt. Réttur gangur klukkunnar var og reglulega sannreyndur með tilheyrandi stjörnuathugunum.

• Huber, B., 2019: The Engineer of Precision Time: Pendulum Clocks by Sigmund Riefler.
• Lombardi, M.A., T.P. Heaven & S.R. Jefferts, 2009: NIST Primary Frequency Standardsand the Realization of the SI Second.
• Þorsteinn Sæmundsson, 2023: Ákvörðun tímans.

Grunnupplýsingarnar, sem notaðar voru við almanaksreikningana á Østervold, munu hafa borist þangað á formi stjörnualmanaka (sjá einnig hér) frá Englandi í gegnum Svíþjóð. Samt var gífurlegt vinna fólgin í útreikningum og yfirferð danska almanaksins og allir, sem vettlingi gátu valdið á stöðinni, voru virkjaðir meðan á henni stóð. Þar á meðal voru framhaldsnemar og Steinþór mun því án efa hafa tekið einhvern þátt í verkinu á námsárunum, og það líklega oftar en einu sinni.

Í þessu sambandi er rétt að minna á, að á árunum 1861 til 1922 var íslenska almanakið einnig reiknað á Østervoldsstöðinni (fyrir þann tíma, þ.e. 1837 til 1860, var það reiknað í Sívalaturni). Um það leyti, sem Steinþór var í 5. bekk í MR (1921-1922), urðu hins vegar þau tímamót, að almanaksreikningarnir fluttust til Íslands og voru það kennarar hans þar, Ólafur Dan Daníelsson og Þorkell Þorkelsson, sem tóku þá að sér. Fyrsta almanakið sem þeir reiknuðu var fyrir árið 1923.

 

Ritdómar Steinþórs um ný íslensk alþýðurit 1927-1928

Árið 1926 hefur sérstakan sess í sögu alþýðufræðslu í stjarnvísindum hér á landi. Þá voru, nær samtímis, gefnar út tvær bækur eftir íslenska höfunda um stjörnufræði og heimsfræði, hinar fyrstu frá því verk Sigurðar Þórólfssonar kennara og búfræðings (1869-1929), Á öðrum hnöttum, kom á prenti 1915.

Höfundar nýju bókanna voru þeir Ágúst H. Bjarnason heimspekiprófessor (1875-1952) og Ásgeir Magnússon kennari og fréttastjóri (1886-1969). Báðir voru þeir áhugamenn um raunvísindi, líkt og forveri þeirra, Sigurður, og höfðu skrifað talsvert um slík efni í tímarit, ekki síst Ágúst.

• Ásgeir Magnússon, 1926: Vetrarbraut: Alþýðubók og skólabók.
• Ágúst H. Bjarnason, 1926: Himingeimurinn.

Næstu árin hélt Ásgeir áfram, ásamt ýmsum öðrum, að kynna löndum sínum nýjungar í stjarnvísindum með greinaskrifum. Ágúst skrifaði hins vegar nýja og heldur víðfeðmari bók, Heimsmynd vísindanna, sem út kom 1931 (sjá einkum bls. 62-138). Á síðustu árunum fyrir stríð bættist Björn Franzson (1906-1974) svo í hóp bókarhöfunda með Efnisheiminum (1938), þar sem rætt er um stjarnvísindi í kaflanum „Hinn mikli heimur“ (bls. 164-185). Um þessi efni var svo ekki fjallað aftur á bókarformi fyrr en kennarinn og rithöfundurinn Hjörtur Halldórsson (1908-1977) þýddi og gaf út Uppruna og eðli alheimsins (1951) eftir F. Hoyle (1915-2001) með formálsorðum eftir Trausta Einarsson.

Á þessum tíma sögðu dómar um ný fræðslurit oft heilmikið um stöðu mála á viðkomandi fræðasviði, bæði hér heima og erlendis. Þegar bækur þeirra Ásgeirs og Ágústs komu út, var Steinþór enn við nám í Kaupmannahöfn og þar sem þær fjölluðu um sérsvið hans, stjörnufræði, hefur hann talið sér skylt að birta umsagnir um þær báðar. Aðrir sögðu einnig sitt álit, eins og fram kemur hér á eftir.

Vetrarbraut

Bók Ásgeirs er safn greina, sem hann hafði áður birt í tímaritunum Verði og Iðunni á árunum 1924 til 1926. Honum tekst að gefa bærilega (en frekar sundurlausa) lýsingu á þáverandi stöðu þekkingar á sólstjörnum og öðrum fyrirbærum í Vetrarbrautinni, efni sem hann hefur aflað sér með lestri erlendra alþýðurita. Því miður vitum við ekki hver ritin voru, því Ásgeir getur ekki heimilda. Hins vegar nefnir hann í niðurlagsorðum (bls. 165), að hann hafi leitað til dr. Ólafs Daníelssonar um ýmislegt „sem máli skipti“.

• Anon, okt 1926: Umsögn.
• Hallgrímur Jónsson, des 1926: Umsögn.
• Jón Eyþórsson, júlí 1927: Ritdómur.
• Steinþór Sigurðsson, júlí 1927: Ritdómur.

Himingeimurinn

Að stofni til er bók Ágústs hefðbundið sögu- og fræðslurit um stjörnufræði og heimsmynd hennar. Höfundurinn styðst einkum við gömul þýsk alþýðurit, svokallaðar Kosmosbækur frá árunum 1888 til 1917 (ritin eru talin upp á bls. 8). Þá vísar hann neðanmáls (bls. 179) í sjöundu útgáfuna af hinu þekkta verki, Newcomb-Engelmann’s Populäre Astronomie (1922). Í lokin er svo stuttur eftirmáli um Einstein og kenningar hans. Þar styðst Ágúst aðallega við skrif B. Russells, sem birtust í The ABC of Relativity (1925) og vitnar jafnframt í Space, Time and Gravitation (1920) eftir A.S. Eddington.  – Aftast í formálsorðum (bls. 7) er stúd. mag. Steinþóri Sigurðssyni þakkað fyrir yfirferð á handriti.

• Pálmi Hannesson, nóv 1926: Ritdómur.
• Jón Eyþórsson, jan 1927: Ritdómur.
• Á(sgeir) M(agnússon), mars 1927: Ritdómur.
• Guðmundur Bárðarson, júlí 1927: Ritdómur.
• Ágúst H. Bjarnason, nóv 1927: Andsvör við ritdómum.
• Jón Eyþórsson, mars 1928: Andleg vöruvöntun: Svar til prófessors Ágústs H. Bjarnasonar.
• Steinþór Sigurðsson, mars 1928: Ritdómur.
• Ágúst H. Bjarnason, mars 1928: Athugasemdir höfundar.

 

Magistersverkefni Steinþórs

Steinþór mun fljótlega hafa kosið að fara í rannsóknarnám (mag. scient.), sem vel fram yfir miðja tuttugustu öld var einskonar millistig milli venjulegs kandídatsnáms (cand. scient.) og „stóru doktorsritgerðarinnar“ (dr. phil.) eins og þeirri, sem Ólafur Dan Daníelsson hafði varið 1909, fimm árum eftir magisterspróf sitt í stærðfræði. Sigurkarl Stefánsson valdi aftur á móti kandídatsnámið og útskrifaðist því rúmu ári á undan Steinþóri.

Höfundi þessara orða er ekki að fullu ljóst, hvaða námskeið Steinþór tók á seinnihluta við Háskólann. Í minningargrein sinni í Alþýðublaðinu segir Sigurkarl hins vegar, að með stjörnufræðináminu hafi hann einnig tekið námskeið í landmælingum og ljósmyndagerð. Í æviskrám er þess jafnframt getið, að á námsárunum 1925 til 1929 hafi Steinþór sjálfur kennt á (árlegu?) námskeiði um mælingar með sextungi (Kursus i Sekstantobservation).

Þegar að hápunkti rannsóknarvinnunnar kom, fékk Steinþór það lokaverkefni að nota allar þekktar mælingar til að finna bestu nálgunina á braut Akkillesar um sólina á árunum 1906 til 1929 með því að taka tillit til þyngdartruflana frá reikistjörnunum Júpíter og Satúrnusi. Jafnframt að ákvarða í lokin nýjustu snertibraut smástirnisins með sem mestri nákvæmni (sjá nánar um hugtakið snertibraut í undirkafla 2.1). Heiti magistersverkefnisins var Baneforbedring for Planet af Jupitergruppen (588) Achilles. Ekki er vitað, hvenær Steinþór hóf vinnu við reikningana fyrir alvöru, en sennilega hefur það þó verið haustið 1928, því í byrjun október sama ár birtist eftirfarandi frétt í vikublaðinu Reykvíkingi:

 

Örstutt forsaga

Um miðjan febrúar 1906 þekktu stjörnufræðingar alls 587 smástirni, öll í smástirnabeltinu milli Mars og Júpíters. Þegar þýski stjörnufræðingurinn M. Wolf (1863-1932) fann nýtt smástirni hinn 22. febrúar, gaf hann því bráðabirgðaheitið 1906 TG, en síðar fékk það númerið 588 og nafnið Akkilles. Það reyndist vera utan smástirnabeltisins og nálægt Júpíter. Fljótlega eftir uppgötvun Wolfs stakk sænski stjörnufræðingurinn C.V.L. Charlier (1862-1934) svo upp á því, að smástirnið væri bundið við Lagrangepunktinn L₄ á braut Júpíters og því væri æskilegt að kanna það svæði nánar og einnig svæðið í kringum L₅, og jafnvel tilsvarandi svæði á braut Satúrnusar.

• Wolf, M., 1906: Photographische Aufnahmen von kleinen Planeten.
• Charlier, C.V.L., 1906: Über den Planeten 1906 TG.

Túlkun Charliers vakti strax mikla athygli og margir stjörnufræðingar brugðust við áskorun hans og beindu sjónaukum sínum að Lagrangepunktunum tveimur. Ekki leið á löngu þar til eitt nýtt smástirni fannst við L₅ (Patróklos) og tvö við L₄ (Hektor og Nestor). Um svipað leyti var farið að tala um þessa smáhnetti sem Trójusmástirni. Talsverður tími leið þar til þau næstu fundust og árið 1929 voru þau aðeins orðin fjórtán. Í dag skiptir fjöldi skráðra Trójusmástirna þúsundum.

Meðal þeirra stjörnufræðinga, sem fengu áhuga á Trójusmástirnunum strax í upphafi, voru þeir Elis Strömgren og bandaríski stjörnufræðingurinn, A.O. Leuschner (1868-1953). Prófessor Leuschner er nefndur hér sérstaklega, af þeirri einföldu ástæðu, að hann var leiðbeinandi Vestur-Íslendingsins Sturlu Einarssonar í doktorsnámi hans við Kaliforníuháskóla í Berkeley. Líkt og Strömgren var Leuschner sérfræðingur í aflfræði himintungla með tilheyrandi brautarreikningum og þeir Strömgren áttu í nokkrum samskiptum tengdum því sviði. Leuschner er meðal annars þekktur fyrir sérstaka nálgunaraðferð í brautarreikningum, sem við hann er kennd:

• Leuschner, A.O., 1913: A Short Method of Determining Orbits From Three Observation.

Það var þessi aðferð, sem Sturla notaði í doktorsverkefni sínu til að ákvarða snertibrautir Trójusmástirnanna Hektors og Akkillesar um sólina:

• Einarsson, S., 1913: On the Orbits of the Minor Planets (624) Hector and (588) Achilles of the Trojan Group. Doktorsritgerð við Kaliforníuháskóla, Berkeley.
• Einarsson, S., 1913: The Minor Planets of the Trojan Group. Kynning á Trójusmástirnum og eigin doktorsverkefni.

Þótt ég efist um, að það verði nokkurn tímann að veruleika, væri það út af fyrir sig verðugt viðfangsefni fyrir meistaranema í vísindasögu að bera saman aðferðir og niðurstöður þeirra Sturlu og Steinþórs fyrir braut Akkillesar.

 

Glíma Steinþórs við Akkilles

Viðfangsefni Steinþórs var hluti af stærra verkefni í umsjón þeirra Strömgrens og Vinter Hansens, sem snerist um það að nota þekktar mæliniðurstöður til að reikna ítrekað út fyrri hreyfingar og síðan snertibrautir nokkurra Trjójusmástirna um sólu.Tilgangurinn var fyrst og fremst sá að koma í veg fyrir að hnettirnir týndust, enda eru truflanir á brautunum smástirnanna verulegar vegna nærveru Júpíters og Satúrnusar. Verkefnið tengdist jafnframt tölulegum reikningum Strömgrens og samstarfsmanna hans á lotubundnum lausnum á takmarkaða þriggja hnatta vandamálinu (sjá undirkafla 3.1).

Til að fá örlitla hugmynd um vandamálið, sem Steinþór þurfti að leysa, er gagnlegt að skoða eftirfarandi mynd: ´

Eina leiðin til öðlast sem nákvæmastar upplýsingar um framtíðarhreyfingar smástirna og halastjarna er að safna sem flestum mæligögnum um stöðu þeirra og hraða og beita síðan viðeigandi truflanareikningi. Í verkefni sínu notaði Steinþór vel þekkta reikniaðferð, sem kennd er við þýska stjörnufræðinginn J.F. Encke (1791-1865) til að reikna út braut Akkillesar á tímabilinu 1906 til 1929 og áætla snertibrautina í lok tímabilsins með því að taka tillit til truflana frá Júpíter og Satúrnusi. Við þá vinnu studdist hann einnig að hluta við reikniaðferðir úr bók G. Strackes frá 1929, Bahnbestimmung der Planeten und Kometen.

Við þessa viðamiklu og tímafreku útreikningana notaði Steinþór öll tiltæk mæligögn um Akkilles frá athugunarstöðvum í Evrópu, Bandaríkjunum og Alsír, en í magistersritgerðinni sjálfri (frá 1929) studdist hann aðallega við gögn og greinar Vinter Hansens frá fyrri tíð:

• Vinter – Hansen, J.M.V., 1915: Oppositionsephemeride des Planeten 588 Achilles.
• Vinter – Hansen, J.M.V. & Fischer-Petersen, 1916: Ephemeriden Kleiner Planeten.
• Vinter – Hansen, J.M.V., 1918: Über die Bewegung des Planeten der Jupitergruppe (588) Achilles in den Jahren 1906-1913: Vorläufige Behaverbesserung.
• Vinter – Hansen, J.M.V., 1919a: Störungen und Ephemeride des Jupiter-Planeten 588 Achilles.
• Vinter – Hansen, J.M.V., 1919b: Oppositionsephemeride für 588 Achilles.
• Vinter – Hansen, J.M.V., 1919c: Störungswerte des Jupiter Planeten 588 Achilles.
• Vinter – Hansen, J.M.V., 1920: L’éphéméride de la planète du groupe Jupitérien 588 Achilles.

Eftir að hafa fengið magistersritgerðina metna hæfa og lokið öllum prófum í nóvember 1929, hélt Steinþór til Íslands, þar sem hann ætlaði, samhliða öðrum störfum, að ganga frá grein í Astronomische Nachricthen um helstu niðurstöður ritgerðarinnar. Það dróst þó á langinn, því í millitíðinni bárust honum tvær greinar með nýjum upplýsingum, sem hann ákvað í samráði við Strömgren að nota til frekari reikninga og uppfærslu á fyrri niðurstöðum:

• Comendantoffs, N., 1929: „Sur la représentation du mouvement d’Achille 588, par la méthode d’extrapolation – Remarques générales sur le problème“ í Bulletin de l’Institut Astronomie de Leningrad (nr. 25, bls. 45).
• Brouwers, D., 1933: Theory and Tables of the Motion of (588) Achilles (Brouwer gaf einnig út grein með sama nafni árið 1937),

Þetta varð til þess, ásamt önnum við kennslu og önnur störf, að lokaútgáfan tafðist um heil þrjú ár:

• Steinþór Sigurðsson, 1929: Baneforbedring for Planet af Jupitergruppen (588) Achilles. Magistersritgerð við Kaupmannahafnarháskóla.
• Steinþór Sigurðsson, 1933: Über die Bewegung des Planeten der Jupitergruppe 588 Achilles in der Zeit von 1906 bis 1929.

Hér má svo sjá lokaniðurstöðu Steinþórs fyrir snertibraut Akkillesar:

Rétt er að geta þess, að þótt áhugi stjörnufræðinga á Trójusmástirnum Júpíters hafi almennt farið minnkandi með árunum eru þau enn til rannsóknar hjá nokkrum öflugum hópum vísindamanna. Þar á meðal eru einstaklingar, sem rannsaka ringl í sólkerfinu og einnig þeir, sem leita að vísbendingum um uppruna sólkerfisins og þróun þess. Í því sambandi má nefna, að þegar þessi orð eru rituð er geimfarið Lucy á leið til smástirnaþyrpingarinnar við L₄. Geimfarinu var skotið á loft árið 2021 og áætlað er að það verði við L₄ haustið 2027. Eftir stutta dvöl þar heldur Lucy til baka framhjá jörðinni og yfir til L₅ þar sem áætluð koma er árið 2033. Hér má sjá stutt kynningarmyndband um þennan langa vísindaleiðangur.

Að lokum er hér til fróðleiks ljósrit af upplýsingum um magisterspróf Steinþórs í stjörnufræði, sem birtar voru í Árbók Kaupmannahafnarháskóla 1929-1930:

 

Heim til Íslands

Steinþór Sigurðsson magister fluttist hingað alkominn í árslok 1929 og hafði þá þegar fengið kennarastöðu í stærðfræði og eðlisfræði við Gagnfræðaskólann á Akureyri, sem um það leyti var verið að breyta í Menntaskóla (MA). Þar kom hann í stað Pálma Hannessonar (1898-1956), sem fluttst hafði suður til að taka við embætti rektors við Menntaskólann í Reykjavík.

Sigurkarl Stefánsson getur þess í minningargrein sinni í TVFÍ, að við námslok haustið 1929 hafi Steinþóri gefist kostur á fastri stöðu sem stjörnufræðingur erlendis, sem hann þáði ekki. Það fylgdi þó ekki sögunni, hvar það hafi verið. Sigurður, sonur Steinþórs, segist hins vegar hafa heyrt það í æsku, að umrædd staða hafi verið í Hollandi. Sigurkarl greinir einnig frá því, að Danir hafi þá boðist til þess „að hér heima yrði komið á fót obseratorii Íslendingum að kostnaðarlausu, ef Steinþór veitti þvi forstöðu og rekstur þess yrði kostaður af ríkissjóði Íslands“. Steinþór mun hafa talið slíkar hugmyndir óraunhæfar og kom þeim aldrei á framfæri við stjórnvöld hér heima.

Í þessu sambandi má til gamans nefna, að árið 1929 voru liðin 124 ár frá því Vísindafélagið danska lagði niður stjörnuathugunarstöðina að Lambhúsum við Bessastaði. Jafnframt, að heil 68 ár áttu enn eftir að líða frá heimkomu Steinþórs og þar til Íslendingar fengu loks aðild að Norræna stjörnusjónaukanum á La Palma, og þá eftir sjö ára baráttu íslenskra stjarnvísindamanna við eigin yfirvöld.

• Einar H. Guðmundsson, 2022: Tvö hundruð og fimmtíu ár frá stofnun embættis konunglegs stjörnumeistara á Íslandi.
• Einar H. Guðmundsson, 2017: Tuttugu gjöful ár með Norræna stjörnusjónaukanum.

Þrátt fyrir að halda áfram að búa niðurstöður sínar úr magistersverkefninu undir prentun í Astronomische Nachrichten, virðist Steinþór fljótlega hafa sagt skilið við stjörnufræðina og í staðinn snúið sér að öðrum viðfangsefnum. Auk kennslu við Menntaskólann á Akureyri (1930-1935), Menntaskólann í Reykjavík (frá 1935), Verkfræðideild Háskóla Íslands (frá 1940) og fleiri opinberra starfa, bar þar einna helst á náttúrurannsóknum af ýmsu tagi. Hér má meðal annars nefna landmælingar, landkönnun og jarðfræði, þar á meðal jökla- og jarðhitarannsóknir sem og vangaveltur í líffræði. Svipmyndum af þessum viðfangsefnum hans verður brugðið upp í næsta hluta, færslunni 4a2.

Í lokin er rétt að geta þess, að eftir að heim var komið skrifaði Steinþór nokkrar alþýðlegar greinar, meðal annars um vísindaleg efni (sjá nánar í ritaskrá hans), auk þess að vera tíður gestur í hinu þá tiltölulega nýtilkomnu útvarpi landsmanna. Þar á meðal voru þrjár greinar um stjarnvísindaleg efni og tvær, sem hann birti í minningu forvera síns, Björns Gunnlaugssonar:

• Steinþór Sigurðsson, 1931: Plútó. Rituð í tilefni fundar dvergreikistjörnunnar Plútós í febrúar 1930.
• Steinþór Sigurðsson, 1938a: Björn Gunnlaugsson 1788-1938.
• Steinþór Sigurðsson, 1938b: Björn Gunnlaugsson og Uppdráttur Íslands.
• Steinþór Sigurðsson,  1939: Reikistjarnan Marz. Í tilefni erindisins birtist stutt viðtal við Steinþór í Útvarpstíðindum.
• Steinþór Sigurðsson, 1946: Ný kenning um myndunarsögu heimsins. Byggð að hluta á greininni A New Theory of the Past (1945) eftir B.S. Haldane.

 

---

* Stjarneðlisfræði og heimsfræði á Íslandi: Efnisyfirlit *

---